Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

So, guten Morgen. Wir kommen heute zu Teil D der Vorlesung. Das ist die

hamiltonische Formulierung der Mechanik und die Frage stellt sich natürlich,

nachdem wir die Newtonische Formulierung hatten, hatten es dann die Lagrange angeschaut,

warum brauchen wir noch eine? Die Lagrange Formulierung, die war ja schon ziemlich

schick. Da konnten wir einfach Wirkungen addieren oder auch Lagrange-Funktionen

addieren und haben dann zusammengesetzte Systeme bekommen. Zwangsbedingungen waren

ganz einfach implementiert. Was kann denn möglicherweise noch unser Ziel sein?

Und die Antwort ist, wir haben eigentlich gar keine weiteren Ziele, was die Komplexität von

Systemen angeht, die wir betrachten wollen. Und in der Tat ist die Bedeutung der hamiltonischen

Mechanik auch eine ganz andere. Also zuerst sollte ich Ihnen sagen, in der Lagrange-Mechanik,

da haben wir eben eine Lagrange-Funktion, eine Funktion auf dem Geschwindigkeitsphasenraum

oder technisch dem Tangentialbündel unserer Konfigurationsmanagefaltigkeit Q,

die wir vorgeben und die bestimmt eben die Dynamik des Systems. Das haben wir jetzt ausführlich

gemacht. Und ja, das war der Geschwindigkeitsphasenraum. Aber man betrachtet in der physikhäufigen

vielleicht ist Ihnen das auch schon begegnet, den Phasenraum. Da geben Sie den Zustand eines

Systems. Was war nochmal der Zustand eines Systems? Auf dem Übungsblatt hatte ich das angedeutet.

Der Zustand eines Systems sind all die Daten, sind die Informationen, die Sie benötigen, um eine

eindeutige Lösungskurve zu bekommen, wenn Sie die Dynamik kennen. Also Anfangsort und Anfangsgeschwindigkeit

sind natürlich die Punkte dieses Geschwindigkeitsphasenraums, also die Zustände. Ja,

also Sie können aber auch einen anderen Zustandsraum angeben, nämlich das Cotangentialbündel. Und das

ist dann anschaulich gesprochen ein Punkt im Cotangentialbündel hat dann ist das Datum Position,

also Ort und Impuls dazu. Und der Impuls war auf dem vorletzten Übungsblatt als Wumms eingeführt,

um Sie nicht zu verwirren. Aber das ist natürlich der Impuls, das ist das Cotangentialbündel. Und die

Hamilton-Mechanik, die findet jetzt einfach statt auf dem Cotangentialbündel. Und in der Tat,

wenn ich Ihnen eine Lagrange-Funktion gebe, werden wir herausfinden, wie man aus einer solchen

Lagrange-Funktion L diese grüne Hamilton-Funktion H konstruiert. Und die soll ja gefälligst alle

Informationen enthalten, die auch die Lagrange-Funktion enthält. Und dann bekommen wir wieder eine leicht

andere Formulierung. Jetzt könnte man sagen, naja gut, also um da jetzt nur irgendwie die Geschwindigkeiten

durch die Impulse zu ersetzen, ist es das wirklich wert? Und die Antwort ist ja, das ist es wirklich

wert. Ich habe das da auch wieder angedeutet, während die Lagrange-Mechanik oder die Lagrange-Formulierung

sehr gut geeignet ist, um konkrete Probleme zu lösen. Diese Wägelchen und Sie haben das Spiel

der beiden Josephs gesehen und so, da ist es alles super. Aber die Hamilton-Mechanik, diese

Hamilton-Umformulierung, die ist für alles andere, was nicht praktisch ist, also für den Theoretiker

ein Fest, ist für alles andere ist es die beste Formulierung. Zum Beispiel bekommen Sie darin das

tiefste Verständnis für den Zusammenhang zwischen Symmetrien in einem System und Erhaltungsgrößen.

Was ist die Geschichte von Symmetrien und Erhaltungsgrößen? Ja, wieso häufig ist das

eine Geschichte? Sie sind in der Schule ganz schön belogen worden. Sie haben nämlich mit

Sicherheit irgendwann gelernt, es gilt der Impuls-Erhaltungssatz. Wer hat das in der Schule

gelernt? Sehr schön. Es gilt der Drehimpuls-Erhaltungssatz. Ihr auch jemand gelernt? Ja? Ja, okay. Es

gilt der Energieerhaltungssatz. Das sind alles Lügen, das ist alles gelogen. Auf jeden Fall in

dieser Absolutheit ist es eine Lüge, denn der Impuls-Erhaltungssatz, der gilt nämlich nur in

Systemen, in denen Translationsinvarianz gilt. Wo also, wenn Sie das System verschieben zu einem

anderen Punkt, wo da das Potenzial zum Beispiel gleich bleibt. Und in der Tat, ich nehme jetzt

wieder das berühmte Kreidestück hier, Impuls der Kreide in Bezug auf unser Bezugsystem hier,

ich höre Null. Super, genau. So, jetzt lasse ich das gehen und dann fällt es bis hier hin,

Impuls, naja irgendwas. Und dann lasse ich es weiter fallen, Impuls noch größer, richtig? Und je

länger ich es fallen lasse, bis es aufdotzt, wird der Impuls immer größer. Ja, wie, ich dachte es

gilt der Impuls-Erhaltungssatz. Der Punkt ist, im homogenen Schwerefeld, wenn Sie von hier nach

hier gehen, ändert sich das Potenzial nicht. Das System ist Translationsinvariant in dieser